一元二次方程的整根问题

二次跑得比一次快。

————lxj

一元二次方程的整根问题

对于一元二次方程的整根问题，有以下 5 种主要方法。

其中前两种为中考要求。

利用判别式列不等式求范围

例：一元二次方程 $x^2-4x+m=0$ 有整根，求所有满足条件的正整数 $m$。

解：$\because \Delta=16-4m\ge 0$，$\therefore m\le 4$。

经检验，$m=3,4$ 时符合题意。故 $m=3$ 或 $m=4$。

这种方法主要用于 $\Delta\ge 0$ 就可以卡出很小的 $m$ 的范围的情况。

可以直接求根

例：一元二次方程 $mx^2-(m+2)x+2=0$ 两根均为整根，求所有满足条件的正整数 $m$。

解：因式分解可得 $(mx-2)(x-1)=0$。

$\therefore x_1=\frac{2}{m},x_2=1$。

$\therefore m=\pm 1,\pm 2$。

判别式是二次式：令 $\Delta=k^2$

例：$x^2-ax+a=0$ 的两根都为整根，求整数 $a$ 的值。

解：$\Delta=a^2-4a\ge 0$。

令 $a^2-4a=k^2(k$为非负整数$)$。

$\therefore (a-2)^2-k^2=4$。$\therefore (a+k-2)(a-k-2)=4$。

然后枚举 $4$ 的约数即可。

韦达定理

例：$x^2-ax+a=0$ 的两根都为整根，求整数 $a$ 的值。

解：$\Delta=a^2-4a\ge 0$。

此时，

$$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=a \\ x_1x_2=a \end{matrix}\right.$$

故 $x_1x_2-x_1-x_2=0$。

两边同时 $+1$，因式分解可得 $(x_1-1)(x_2-1)=1$。

然后枚举 $1$ 的约数即可。

主元法

例：$x^2-ax+a=0$ 的两根都为整根，求整数 $a$ 的值。

解：变形可得 $a=\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$。

$\therefore (x-1)|1$。

还是枚举 $1$ 的约数。

也就是说可以将 $a$ 的表达式化为部分分式求解。

另外，主元法如果求出 $a$ 的表达式中分子次数比分母小的情况了，且规定了 $a$ 为正整数的话，因为“二次跑得比一次快”（二次的增长速度比一次快很多），所以用分子 $\ge$ 分母这个不等式可以卡出很小的范围，方便一个一个讨论。